Platonska kroppar

RiS-0604

När man talar om kroppar tänker många först på sin egen kropp, människans fysiska del, eller så tänker man på en djurkropp. En kropp kan också vara en tredimensionell figur som man möter i matematiken som klot, pyramider osv, eller i olika former av förpackningar.

PLATONSKA KROPPAR

Den grekiska matematikern Euklides, som levde på 300-talet f Kr kom fram till att det finns endast fem regelbundna kroppar där alla sidoytorna består av likadana regelbundna månghörningar, exempelvis trianglar och kvadrater, samt att dessutom lika många sidoytor möts i varje hörn av kroppen och kroppen buktar utåt. Filosofen Platon (427–347 f.Kr) kopplade ihop dessa fem kroppar med de fem ämnen (jord, eld, luft, vatten och etern), som man på den tiden tänkte sig att universum bestod av. De fem kropparna brukar därför kallas Platonska kroppar,Tetraedern är den enklaste av de fem kropparna. En annan kropp som ni känner till är hexaedern (kuben) och en tredje är den som kallas oktaeder. Se bilderna nedan.

Tetraeder

Hexaeder (kub)

Oktaeder

Dodekaeder

Ikosaeder

 RiS-0604-a RiS-0604-b RiS-0604-c RiS-0604-d RiS-0604-e
Er uppgift är att:

A) ange antal sidoytor, kanter och hörn hos en hexaeder, kub.

B) med hjälp av magnetstavarna och kulorna bygga en kropp som består av en tetraeder och en oktaeder som har en sidoyta gemensam. OBS! I varje hörn får det finnas bara en kula.

Rätt svar Fråga: Platonska kroppar

A) 6 sidoytor, 8 hörn och 12 kanter

Kommentar

Man kan enkelt visa att det endast finns fem regelbundna geometriska kroppar
där alla sidoytorna består av likadana regelbundna månghörningar samt att lika
många sidoytor möts i varje hörn av kroppen och kroppen buktar utåt.
Det hela handlar om att summan av vinklarna som möts i ett hörn måste vara
mindre än 360o för att det skall bli en tredimensionell kropp.

För liksidiga trianglar med alla vinklar 60o finns det då följande möjligheter:
1) Tre trianglar som möts ger 180o. Detta ger en så kallad tetraeder.
2) Fyra trianglar som möts i ett hörn ger summan 240o och kroppen blir åttasidig
och kallas oktaeder.
3) Fem trianglar ger 300o vilket ger en kropp med 20 sidor som kallas ikosaeder.

För kvadrater med vinkeln 90o finns endast en möjlighet: Tre kvadrater möts i ett hörn vilket ger 270o och en kub.

I en regelbunden femhörning (pentagon) är varje vinkel 108o: Tre femhörningar som möts ger då vinkelsumman 324o, vilket blir mindre än 360o. Kroppen kommer att bestå av 12 regelbundna femhörningar och kallas dodekaeder.

En regelbunden sexhörnings (hexagons) vinklar är 120o vilket innebär att vinkelsumman blir 360o redan när tre sexhörningar möts och den blir då en platt, dvs i tvådimensionell kropp.

Vinkeln i en plan regelbunden geometrisk figur kan man beräkna med formeln (n-2) * 180o, där n är antalet hörn i figuren.

RiS-0604-svar-1RiS-0604-svar-2 RiS-0604-svar-3

Lgr11 centralt innehåll

Matematik Geometri